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这才是“数论”被称为数学中的皇冠的真正原因

日期:2020-10-25 资料来源:
     1801年,高斯以前人的研成果为基础,发表了具有划时代意义的数学著作《算术研究》,这部巨著被认为开启了“现代数论”的新纪元。

在《算术研究》中,高斯创立了“同余理论”,并发现了被誉为“数论之酵母”的“二次互反律”。在此基础上,黎曼创立了“黎曼ζ函数”,于是,令无数数学家为之着迷的“黎曼猜想”诞生。

         经过对“黎曼ζ函数”的研究,黎曼发现“复变函数”的“解析性质”似乎揭示了“素数的分布规律”。这一重大发现,将“数论”的研究领进了“分析领域”。
随着新的“数学工具”不断涌现, 数论开始和“代数几何”建立了联系, 直接导致了另一门具有重要意义新的学科“算术代数几何”的诞生。

“算术代数几何” 将几个看似不相关的数学分支统一了起来。让数学家们从一个全新的视角和高度,开始了“数论”研究的新征途。
 

       1967年,朗兰兹提出了“朗兰兹纲领”,该理论将“数论”、“群论”、“代数几何”与“数学分析”建立起了联系。朗兰兹纲领以“数论”研究为中心,对“一系列”的“猜想”进行更加深入的研究,其中就包括著名的“黎曼猜想”。用通俗的话来说,数学的各个领域看起来“表面上毫不相干”,但它们之间却可能存在某种联系。

      1995年,数学家“怀尔斯”证明了300多年悬而未决的“费马大定理”,用的方法就是“算术代数几何法”,其核心的指导思想便是“朗兰兹纲领”所预言的“亳不相干的领域”之间的联系,从而为“朗兰兹纲领”理论的可靠性提供了有力的支持。“费马大定理”的证明,直接促成了“谷山―志村―韦依猜想”的解决。该猜想将“深刻算术性质”的几何对象与“数学分析”领域的“高度周期性的函数”建立起了联系。“朗兰兹纲领”进一步提出了数论中的“伽罗瓦表示”与分析中的“自守型”之间的一个“关系网”。“朗兰兹纲领”近年的影响力越来越大,己成为“未来数学”发展重要的方向之一。

2002年的“菲尔兹奖”得主“拉佛阁”在“朗兰兹纲领”研究方面取得了巨大的进展,他证明了与“函数域”情形相应的“整体朗兰兹纲领”,数学界称赞他拥有“令人惊叹的技巧,深刻的洞察力和系统有力的方法。”

“朗兰兹纲领”的根源来自于“二次互反律”,该定律被誉为“数论”中最神奇的事实之一。

朗兰兹在建立“朗兰兹纲领”之初,就是想更加深入地理解“更一般情形”的“互反律”。

“朗兰兹纲领”将“函数域”设想为由“多项式的商”组成的“集合”,对这些“多项式的商”可以像“有理数”那样进行加、减、乘、除。

“朗兰兹纲领”所提出的崭新的“数学思想”,为“现代数论”的研究迎来了新的春天。

 

“数论”中虽然有很多“猜想”至今依然悬而未决,但是在试图解决这些猜想的研究过程中,却促进了其他数学分支的迅猛发展。

数论被高斯誉为“数学中的皇冠”,而“数论”中那些悬而未决的“猜想”,便是“皇冠上的明珠”,激励着数学家们勇敢地上前去“摘取”。


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